Question

已知向量

a

=（m，-1），

b

=（sinx，cosx），f(x)=

a

•

b

且滿足f(

π

2

)=1．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的最大值及其對應的x值；
（3）若f(α)=

1

5

，求

sin2α-2sin2α

1-tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數量積的坐標公式，可得出f（x）含有參數m的解析式，再根據條件f(

π

2

)=1解出m的值，即得出函數y=f（x）的解析式；
（2）利用輔助角公式，可將f（x）化簡為f（x）=

2

sin(x-

π

4

)，再用課本關于正弦函數的相應結論，可得出函數y=f（x）的最大值及其對應的x值；
（3）由f(α)=

1

5

，得到α的正弦與余弦的差等于

1

5

，利用平方的方法結合同角三角函數的平方關系，可得α的正弦與余弦的積為

24

25

，最后將二倍角的正弦公式代入要求值的分式，再將正切化做正弦除以余弦，可得出這個式子的值．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=msinx-cosx，
f(

π

2

)=1即msin

π

2

-cos

π

2

=1，所以m=1
所以f（x）=sinx-cosx…（4分）
（2）f(x)=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)
當x-

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即x=2kπ+

3π

4

(k∈Z)時，fmax(x)=

2

…（8分）
（3）f(α)=

1

5

，即sinα-cosα=

1

5

…（9分）
兩邊平方得：(sinα-cosα)2=

1

25

，
所以2sinαcosα=

24

25

…（10分）

sin2α-2sin2α

1-tanα

=

2sinα(cosα-sinα)

1- sinα cosα

=2sinαcosα=

24

25

…（12分）

點評：本題考查了平面向量的數量積的坐標表示、三角函數的最值和三角函數求值等知識點，是一道平面向量的綜合題．