Question

設圓C的圓心在雙曲線

x2

a2

-

y2

2

=1（a＞0）的右焦點且與此雙曲線的漸近線相切，若圓C被直線l：x-

3

y=0截得的弦長等于2，則a=

 

．

Answer 1

分析：先利用圓與雙曲線的漸近線相切得圓的半徑，再利用圓C被直線l：x-

3

y=0截得的弦長等于2，求出a與圓心到直線l：x-

3

y=0的距離d之間的等量關系即可求出a．

解答：解：設圓心坐標為（

a2+2

，0），因為雙曲線的漸近線y=

2

a

x?

2

x-ay=0．
由圓與雙曲線的漸近線相切得圓心到直線的距離等于半徑，即得r=

2  2+a2

2+a2

=

2

，
又因為圓C被直線l：x-

3

y=0截得的弦長等于2，
故圓心到直線l：x-

3

y=0的距離d=1=

2+a2

1+( 3 )2

?a²=2又a＞0，故a=

2

．
故答案為 

2

．

點評：本題主要考查橢圓與雙曲線的幾何性質，直線的方程，直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力．