Question

設圓C的圓心在雙曲線（a＞0）的右焦點且與此雙曲線的漸近線相切，若圓C被直線l：截得的弦長等于2，則a=    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用圓與雙曲線的漸近線相切得圓的半徑，再利用圓C被直線l：截得的弦長等于2，求出a與圓心到直線l：的距離d之間的等量關系即可求出a．
解答：解：設圓心坐標為（，0），因為雙曲線的漸近線y=x⇒x-ay=0．
由圓與雙曲線的漸近線相切得圓心到直線的距離等于半徑，即得r==，
又因為圓C被直線l：截得的弦長等于2，
故圓心到直線l：的距離d=1=⇒a²=2又a＞0，故a=．
故答案為  ．
點評：本題主要考查橢圓與雙曲線的幾何性質，直線的方程，直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力．