Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱A₁B₁和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求二面角B₁-BF-E的大小．
（2）求點(diǎn)D到平面BEF的距離．
（3）能否在棱B₁B上找到一點(diǎn)M，使DM⊥面BEF？若能，請確定點(diǎn)M的位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B₁作B₁G⊥BF于G，連接EG，則由EB₁⊥面B₁BCC₁，可知EG⊥BF．即∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角．解三角形B₁GE即可得到二面角B₁-BF-E的大小；
（2）連接B₁D₁與EF交于N，可得面BEF⊥面BB₁D₁D，且面BEF∩面BB₁D₁D=BN．過D作DH⊥BN于H，則DH⊥面BEF．即DH的長即為點(diǎn)D到面BEF的距離．根據(jù)△BDH∽△NBB₁，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，我們根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求出點(diǎn)D到平面BEF的距離．
（3）在平面BB₁D₁D中，延長DH交BB₁于M，由（2），DH⊥面BEF，則DM⊥面BEF．然后根據(jù)△BDM∽△B₁BN，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊長成比例，易得到結(jié)論．
解答：解：（1）過B₁作B₁G⊥BF于G，連接EG，
則由EB₁⊥面B₁BCC₁，可知EG⊥BF．
∴∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角．
在Rt△BB₁F中，B₁B=a，B₁F=，
∴BF==a，
B₁G===a．
在Rt△B₁GE中，B₁E=，B₁G=a，
∴tan∠B₁GE===．
∴∠B₁GE=arctan．
故二面角B₁-BF-E的大小為arctan．
（2）連接B₁D₁與EF交于N，
則EF⊥B₁D₁．又BB₁⊥EF，
∴EF⊥面BB₁D₁D．又EF?面BEF，
∴面BEF⊥面BB₁D₁D，且面BEF∩面BB₁D₁D=BN．
過D作DH⊥BN于H，則DH⊥面BEF．
∴DH的長即為點(diǎn)D到面BEF的距離．
在矩形BB₁D₁D中，
易證△BDH∽△NBB₁，
∴=，DH===a．
故點(diǎn)D到面BEF的距離為a．
（3）在平面BB₁D₁D中，延長DH交BB₁于M，由（2），DH⊥面BEF，
∴DM⊥面BEF．
由△BDM∽△B₁BN，有=，
∴BM===．
則M為BB₁的中點(diǎn)．
故在棱BB₁上可找到點(diǎn)M，使DM⊥面BEF，此時(shí)M為BB₁的中點(diǎn)．
點(diǎn)評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角，通過解∠B₁GE所在的三角形求得∠B₁GE．其解題過程為：作∠B₁GE→證∠B₁GE是二面角的平面角→計(jì)算∠B₁GE，簡記為“作、證、算”．