Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形， 平面，，,于點．

(1) 求證：；

(2) 求直線與平面所成的角的余弦值.

 

Answer 1

(1)答案詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：(1)要證明線線垂直，可考慮先證明直線和平面垂直，該題先證明平面，從而得到，又，故可證明平面，進而證明；（2）求直線和平面所成的角，需先找后求，同時要有必要的證明過程，該題中直線和平面所成的角不易找到，故可采取轉化法，先求點到平面的距離，再利用，求得所求角的正弦值，進而求余弦值．故求點到平面的距離成為解題關鍵，可利用等體積轉化法進行．

試題解析：(1)證明：∵ 平面，平面,∴.

∵，平面,平面,

∴平面.

∵平面

∴， 3分

∵, ,平面,

平面,∴平面.

∵平面,∴. 6分

（2）【解析】
由（1）知，，又，

則是的中點,在Rt△中, 得，

在Rt△中,得,

∴.

設點到平面的距離為，由， 8分

得.解得， 10分

設直線與平面所成的角為，

則， 12分

∴.

∴直線與平面所成的角的余弦值為. 14分

考點：1、直線和平面垂直的判斷；2、直線和平面垂直的性質定理；3、直線和平面所成的角.