Question

（2011•黃岡模擬）設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（m+1）-ma_n對任意正整數n都成立，其中m為常數，m＜-1
（1）求證：{a_n（2）}是等比數列；
（3）設數列{a_n（4）}的公比q=f（m）（5），數列{b_n}（6）滿足：b1=

1

3

a1（7），b_n=f（b_n-1）（8）（n≥2，n∈N）（9），求數列{b_nb_n+1}（10）的前n（11）項和T_n（12）

Answer 1

分析：（1）由已知得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，即（m+1）a_n+1=ma_n對任意n∈N^*都成立．所以

an+1

an

=

m

m+1

，由此知數列{a_n}等比數列．
（2）因為a₁=1，從而 b1=

1

3

，所以 bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

(n≥2，n∈N*)，

1

bn

=1+

1

bn-1

，即

1

bn

-

1

bn-1

=1．

1

bn

=3+(n-1)=n+2，bn=

1

n+2

(n∈N*)，由此入手能求出T_n．

解答：解：（1）由已知S_n+1=（m+1）-ma_n+1（1）S_n=（m+1）-ma_n（2）
由（1）-（2）得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即（m+1）a_n+1=ma_n對任意n∈N^*都成立．∵m為常數，且m＜-1．
又∵a₁=1≠0∴

an+1

an

=

m

m+1

，即數列{a_n}等比數列（5分）
（2）當n=1時，a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，從而 b1=

1

3

，由（1）得，
∴bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

(n≥2，n∈N*)
∴

1

bn

=1+

1

bn-1

，即

1

bn

-

1

bn-1

=1．
∴{

1

bn

}為等差數列，

1

bn

=3+(n-1)=n+2，bn=

1

n+2

(n∈N*)，
bn•bn+1=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1
=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+2

-

1

n+3

=

1

3

-

1

n+3

．

點評：本題考查等差數列的證明和數列前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的靈活運用．