Question

已知函數f（x）=e^x+tx（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）當t=-e時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設不等式f（x）＞0的解集為P，且集合{x|0＜x≤2}⊆P，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用導數的正負，可得函數的單調區間；
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集為P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知對于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，利用分離參數法，可得t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，求出右邊對應函數的最大值，即可求實數t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當t=-e時，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
由f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1；f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1．
∴函數f（x）的單調遞增區間是（1，+∞）；單調遞減區間是（-∞，1）．
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集為P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知，對于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e^x+tx＞0即t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立． 
令g(x)=-

ex

x

，∴g′(x)=

(1-x)ex

x2

．
當0＜x＜1時，g'（x）＞0；當1＜x＜2時，g'（x）＜0．
∴函數g（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，2）上單調遞減．
∴函數g（x）在x=1處取得極大值g（1）=-e，即為在x∈（0，2]上的最大值．
∴實數t的取值范圍是（-e，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是將問題轉化為t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，利用求出右邊對應函數的最大值，可求實數t的取值范圍．