Question

（1）已知y=

1

x

的圖象為雙曲線，在雙曲線的兩支上分別取點P，Q，則線段PQ的最小值為

2

2

；
（2）已知y=

3

x-

1

x

的圖象為雙曲線，在此雙曲線的兩支上分別取點P，Q，則線段PQ的最小值為

2

3

-2

．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線的性質，當直線經過雙曲線的中心被雙曲線截得的實軸長是線段是PQ的最小值．因此，求出雙曲線y=

1

x

的實軸所在直線為y=x，再求y=x與雙曲線的交點坐標，即可得到線段PQ的最小值．
（2）類似（1）的原理，利用導數工具求出雙曲線y=

3

x-

1

x

的實軸所在直線為y=（

3

-2）x，再聯解直線與雙曲線方程，得到交點坐標后再用兩點間的距離公式，可算出線段PQ的最小值．

解答：解：（1）∵y=

1

x

的圖象為雙曲線，兩條漸近線分別為x軸和y軸
∴雙曲線的實軸在直線y=x上，直線y=x被雙曲線截得的線段長等于PQ的最小值
聯解

y= 1 x y=x

，得交點為（1，1）和（-1，-1）
∴線段PQ的最小值為

(1+1)2+(1+1)2

=2

2

（2）函數y=

3

x-

1

x

的導數為y′=

3

+

1

x2

＞

3

，
所以函數的漸近線方程為：x=0與y=

3

x，
可得兩條漸近線的角平分線與x軸所成的傾斜角為-15°，
其方程為：y=tan（-15°）x，即y=（

3

-2）x，
因此，兩條漸近線的角平分線與函數y=

3

x-

1

x

的交點為：
（

2

2

，-

6 -2 2

2

），（-

2

2

，

6 -2 2

2

），
因此，線段PQ的最小值為

(- 2 2 - 2 2 )2+( 6 -2 2 2 + 6 -2 2 2 )2

=2

3

-2．
故答案為：2

2

，2

3

-2

點評：本題給出雙曲線的方程，求直線被雙曲線截得線段PQ的最小值．著重考查了雙曲線的性質、兩點間的距離公式和運用導數研究函數的圖象等知識，屬于中檔題．