Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數的最小值；

（Ⅱ）設（），討論函數的單調性；

（Ⅲ）若斜率為的直線與曲線交于，兩點，其中，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，在區間內是增函數，當時，在內單調遞增，在內單調遞減．（Ⅲ）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數的導數，由與求函數的單調區間與單調性，從而可得；（Ⅱ）由已知可知，，分與分別討論導數的符號可得函數的單調區間；（Ⅲ），則不等式，令，只要證不等式（）即可，分別構造函數（）與（），可證成立.

試題解析： （Ⅰ）（），……（1分）

令，得，

當時，；當時，．

則在內遞減，在內遞增，…………（2分）

所以當時，函數取得最小值，且……（3分）

（Ⅱ），（），…………（4分）

當時，恒有，在區間內是增函數；……（5分）

當時，令，即，解得，

令，即，解得，………（6分）

綜上，當時，在區間內是增函數，當時，在內單調遞增，在內單調遞減．………（7分）

（Ⅲ）證明：，要證明，

即證，………（8分）

等價于，令（由，知），

則只需證，由，知，故等價于（）（）……（9分）

①設（），則（），所以在內是增函數，當時，，所以；…………（10分）

②設（），則（），所以在內是增函數，所以當時，，即（）．……（11分）

由①②知（）成立，所以．……（12分）