Question

已知直線與曲線交于A、B兩點。

（1）當時，有，求曲線的方程；

（2）當實數a為何值時，對任意，都有為定值？指出的值；

（3）是否存在常數，使得對于任意的，，都有恒成立？

如果存在，求出的得最小值；如果不存在，說明理由。如果存在，求出的得最小值；如果不存在，說明理由。

Answer 1

（1）當時，則直線與曲線的兩交點分別

為， 由， 解得

故曲線的方程是

  （2）假設存在這樣的常數a，由消去y

得：則有 

      關于恒成立，則有

 解得： ，

而當時，，且方程判別式

   故當時，對任意，都有，此時

（3）假設存在常數，使得對于任意的，，

都有恒成立

    即=

當時，    只需成立，  即

時，，只需，  即，

故的最小值是0。

故存在常數，使得對于任意的，，都有恒成立，且的最小值是0。