Question

【題目】等腰△ABC中，AC=BC= ，AB=2，E，F分別為AC，BC的中點，將△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱錐P﹣ABFE，且AP=BP= ．

（1）求證：平面EFP⊥平面ABFE；
（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，D為AB中點，O為EF中點．

由AC=BC= ，AB=2．

∵E、F分別為AC、BC的中點，

∴EF為中位線，得CO=OD=1，CO⊥EF

∴四棱錐P﹣ABFE中，PO⊥EF，

∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO= ，

又AP= ，OP=1，

∴四棱錐P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分

又AO∩EF=O，EF、AO平面ABFE，

∴OP⊥平面ABFE，

又OP平面EFP，

∴平面EFP⊥平面ABFE

（2）解：由（1）知OD，OF，OP兩兩垂直，以O為原點，建立空間直角坐標系（如圖）：

則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0， ，0），P（0，0，1）…7分

∴ ， ，

設 ， 分別為平面AEP、平面ABP的一個法向量，

則 取x=1，得y=2，z=﹣1

∴ ．

同理可得

由于 =0，

所以二面角B﹣AP﹣E為90°．

【解析】（1）用分析法找思路，用綜合法證明．取EF中點O，連接OP、OC．等腰三角形CEF中有CO⊥EF，即OP⊥EF．根據兩平面垂直的性質定理，平面PEF和平面ABFE的交線是EF，且PO⊥EF，分析得PO⊥平面ABFE．故只需根據題中條件證出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理證得平面EFP⊥平面ABFE．（2）根據第一問分析空間位置關系，可建立空間直角坐標線求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角關系，確定二面角大小．