Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過(guò)點(diǎn)P（2，0），且在點(diǎn)P處有相同的切線．
（ I）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；
（ II）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）欲求實(shí)數(shù)a，b，c的值，只須求出切線斜率的值，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用斜率相等及都過(guò)點(diǎn)P列出等量關(guān)系，從而問(wèn)題解決．
（II）欲求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決．先求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)F′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，F(xiàn)′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間即可．

解答：解：（ I）由題設(shè)知：

f(2)=0 g(2)=0 f′(2)=g′(2)

?

16+2a=0 4b+c=0 24+a=4b

?

a=-8 b=4 c=-16

實(shí)數(shù)a，b，c的值分別為：-8，4，-16．
（ II）F（x）=2x³+4x²-8x-16F′（x）=6x²+8x-8
令F′（x）=6x²+8x-8＞0得x＞

2

3

或x＜-2
令F′（x）=6x²+8x-8＜0得-2＜x＜

2

3

所以F（x）遞增區(qū)間為(-∞，-2)，(

2

3

，+∞)
遞減區(qū)間為(-2，

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．