Question

（本小題滿分12分）
兩縣城A和B相聚20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對稱A和城B的總影響度為0.0065.（1）將y表示成x的函數；（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2）在弧AB上存在一點，且此點到城市A的距離為

（1）如右圖,由題意知AC⊥BC,,，
當垃圾處理廠建在弧AB的中點時,垃圾處理廠到A、B的距離都相等，且為
，所以有，解得，
∴
（2）∵==，
令，得，解得，即，
又因為，所以函數在上是減函數，
在上是增函數，∴當時，y取得最小值，
所以在弧AB上存在一點，且此點到城市A的距離為，使建在此處的垃圾處理廠對城市A、B的總影響度最小.