Question

【題目】已知函數，曲線在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）求證：時，；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】分析：第一問對函數求導，求得的值，緊接著求得，從而應用點斜式求得直線的方程，與題中所給的直線方程對比，求得參數的值，第二問將所求的的值代入，之后構造新函數，利用導數得到函數的單調性，之后證得結果，第三問借助于第二問所證得的不等式，將其中變量加以代換，之后對不等式進行變形，并且對其進行適當的放縮，然后應用裂項相消法求和，證得結果.

詳解：（Ⅰ）函數定義域為，，

又因為

所以該切線方程為，即,.

（2）設，

則

設，

則

當，，又，故

所以，即在區間上單調遞增，所以

所以，

（2）由（2）可知，

令，則，

因為

所以時，有

化簡為，

即，所以.