Question

9．已知$\overrightarrow{a\;}$、$\overrightarrow{b\;}$滿足$|{\overrightarrow{b\;}}|=2|{\overrightarrow{a\;}}|=2\overrightarrow{a\;}•\overrightarrow{b\;}=2$，$（{\overrightarrow{c\;}}\right.-$$\left.{\overrightarrow{a\;}}）•$$（{\overrightarrow{c\;}}\right.-$$\left.{\overrightarrow{b\;}}）$=0，則$\overrightarrow{c\;}•$$\overrightarrow{a\;}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{4+\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由已知可設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，以OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，得到$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$的坐標，設出$\overrightarrow{c}$的坐標，利用向量垂直的坐標運算得到C的軌跡，從而求得$\overrightarrow{c\;}•$$\overrightarrow{a\;}$的最大值．

解答 解：由$|{\overrightarrow{b\;}}|=2|{\overrightarrow{a\;}}|=2\overrightarrow{a\;}•\overrightarrow{b\;}=2$，得$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$．
設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
以OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
則$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}=（x，y）$，$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=（x-1，y）$，$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=（x-1，y-\sqrt{3}）$，
又$（{\overrightarrow{c\;}}\right.-$$\left.{\overrightarrow{a\;}}）•$$（{\overrightarrow{c\;}}\right.-$$\left.{\overrightarrow{b\;}}）$=0，
∴$（x-1）^{2}+y（y-\sqrt{3}）=0$，即$（x-1）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=\frac{3}{4}$．
又$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=x$，∴$\overrightarrow{c\;}•$$\overrightarrow{a\;}$的最大值為1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查數學轉化思想方法，是中檔題．