Question

（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知橢圓的長軸長為6，焦距F₁F₂=4

2

，過橢圓左焦點F₁作一直線，交橢圓于兩點M、N，設∠F₂F₁M=α（0≤α＜π），當α為何值時，MN與橢圓短軸長相等？（用極坐標或參數方程方程求解）

Answer 1

分析：以橢圓焦點F₁為極點，以F₁為起點并過F₂的射線為極軸建立極坐標系，由已知條件可知橢圓的極坐標方程為 ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．據此能夠求出α的值．

解答：解：以橢圓焦點F₁為極點，
以F₁為起點并過F₂的射線為極軸建立極坐標系
由已知條件可知橢圓長半軸a=3，
半焦距c=2

2

，短半軸b=1，
離心率e=

2 2

3

，中心到準線距離=

9 2

4

，
焦點到準線距離p=

2

4

．
橢圓的極坐標方程為 ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．
解得 cosα=±

2

2

．
∴α=

π

6

或 α=

5π

6

．
以上解方程過程中的每一步都是可逆的，
所以當 α=

π

6

或 α=

5π

6

時，|MN|等于短軸的長．

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、橢圓的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．