Question

18．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{m{x^2}+1，x≥0}\\{（{m^2}-1）{2^x}，x＜0}\end{array}}$在（-∞，+∞）上是具有單調性，則實數m的取值范圍（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 函數f（x）在（-∞，+∞）上是具有單調性，需要對m分類討論，當m＞1，m＜-1，m=±1、0，-1＜m＜0，0＜m＜1分別判斷分段函數的單調性．

解答 解：令 h（x）=mx²+1，x≥0；g（x）=（m²-1）2^x，x＜0；
①當 m＞1時，要使得f（x）在（-∞，+∞）上是具有單調性，
即要滿足m²-1≤1⇒-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{2}$
故：1＜m≤$\sqrt{2}$；
②當 m＜-1時，h（x）在x≥0上遞減，g（x）在x＜0上遞增，
所以，f（x）在R上不具有單調性，不符合題意；
③當 m=±1時，g（x）=0；當m=0時，h（x）=1；
所以，f（x）在R上不具有單調性，不符合題意；
④當-1＜m＜0 時，h（x）在x≥0上遞減，g（x）在x＜0上遞減，
對于任意的x≥0，g（x）＜0；當x→0時，h（x）＞0；
所以，f（x）在R上不具有單調性，不符合題意；
⑤當0＜m＜1時，h（x）在x≥0上遞增，g（x）在x＜0上遞減；
所以，f（x）在R上不具有單調性，不符合題意；
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]

點評 本題主要考查了分段函數的單調性，二次函數與指數函數、以及分類討論知識點，屬基礎題．