Question

已知三次函數f（x）=ax³-5x²+cx+d（a≠0）圖象上點（1，8）處的切線經過點（3，0），并且f（x）在x=3處有極值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若當x∈（0，m）時，f（x）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將（1，8）代入f（x）；求出導函數，據導數在切點（1，8）處的值為切線斜率列出方程；據極值點處的導數值為0，列出另一個等式，解方程組求出f（x）的解析式．
（2）求出導函數，令導函數等于0，求出根，判斷出函數的單調區間，求出最小值，求出m的范圍．
解答：解：（1）∵f（x）圖象過點（1，8），
∴a-5+c+d=8，即a+c+d=13①
又f′（x）=3ax²-10x+c，且點（1，8）處的切線經過（3，0），
∴f′（1）==-4，即3a-10+c=-4，∴3a+c=6②
又∵f（x）在x=3處有極值，∴f′（3）=0，即27a+c=30③
聯立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，f（x）=x³-5x²+3x+9
（2）f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3）由f′（x）=0得x₁=，x₂=3
當x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，∴f（x）＞f（0）=9
當x∈（，3）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，∴f（x）＞f（3）=0．
又∵f（3）=0，
∴當m＞3時，f（x）＞0在（0，m）內不恒成立．
∴當且僅當m∈（0，3]時，f（x）＞0在（0，m）內恒成立．
所以m取值范圍為（0，3]．
點評：本題考查在解決函數的切線問題時，一定注意是切點處的導數值才等于切線的斜率．在解決不等式恒成立問題時，常采用的方法是分離常數求函數的最值．