Question

若函數f（x）=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是[0，1]，則a等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：由“f（x）=log_a（x+1）的定義域是[0，1]”，可知0≤x≤1，從而有1≤x+1≤2．再利用對數函數的單調性研究：當a＞1時，是增函數，則有0=log_a1≤log_a（x+1）≤log_a2=1；當0＜a＜1時，是減函數，則有log_a2≤log_a（x+1）≤log_a1=0，分別求解，最后取并集．
解答：解：f（x）=log_a（x+1）的定義域是[0，1]，
∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2．
當a＞1時，0=log_a1≤log_a（x+1）≤log_a2=1，
∴a=2；
當0＜a＜1時，log_a2≤log_a（x+1）≤log_a1=0，
與值域是[0，1]矛盾．
綜上，a=2．
故選D
點評：本題主要通過函數間的轉化，來考查對數函數的定義域，值域及其單調性，還考查了轉化和分類討論思想．