Question

設(shè)長方體的對角線的長度是4，過每一頂點有兩條棱與對角線的夾角都是60°，則此長方體的體積是（　　）

• A．

  3

  9

• B．8

  2

• C．8

  3

• D．16

  3

Answer 1

分析：由題意作出圖形，利用解直角三角形的知識求出長方體的過一個頂點的三條棱長，從而求出長方體的體積．

解答：解：如圖，

由題意可知：與對角線BH成60°角的一條棱AB和對角線所在的直角三角形中，和棱AB所對的角∠AHB是30°，可得棱AB的長度為2，
同理EH的長度也為2，在直角三角形HAB中，由勾股定理可得AH=

42-22

=2

3

，
又在直角三角形中HEA中，EA=

(2 3 )2-22

=2

2

．
所以，長方體的體積是V=2×2×2

2

=8

2

．
故選B．

點評：本小題主要考查幾何體的體積，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬中檔題．