Question

【題目】若函數(shù)f（x）=（2x2﹣ax﹣6a2）ln（x﹣a）的值域是[0，+∞），則實數(shù)a=

Answer 1

【答案】﹣ 或1
【解析】解：f（x）=（x﹣2a）（2x+3a）ln（x﹣a），
由f（x）=0得x=2a，或x=﹣ ，或x=a+1，
若a=0，則f（x）=2x2lnx，則函數(shù)的值域為（﹣∞，+∞），不滿足條件．
若a＞0，則函數(shù)的定義域為x＞a，此時函數(shù)f（x）的零點為x=2a，x=a+1，
設(shè)y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
要使函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），則函數(shù)y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
則定義域（a，+∞）上函數(shù)值的符號相同，
即兩個函數(shù)的零點相等即2a=a+1，得a=1，
若a＜0，則函數(shù)的定義域為x＞a，此時函數(shù)f（x）的零點為x=﹣ ，x=a+1，
設(shè)y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
要使函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），則函數(shù)y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
則定義域（a，+∞）上函數(shù)值的符號相同，
即兩個函數(shù)的零點相等即﹣ =a+1，得a=﹣ ，
綜上a=﹣ 或a=1，
所以答案是：﹣ 或1．

【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的才能正確解答此題．