Question

已知a>0，函數f(x)=ax－bx²,

（1）當b>0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明：a≤2；

（2）當b>1時，證明：對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b－1≤a≤2；

（3）當0≤1時，討論：對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件。

 

Answer 1

（1）證：依題設，對任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=－b(x－)²+，

∴f()= ≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2。

    （2）證：（必要性），對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1－1≤f(x)據此可推出－1≤f(1)即a－b≥－1，∴a≥b－1。對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因為b>1，

可推出f()≤1。即a?－≤1，∴a≤2，所以b－1≤a≤2。

    （充分性）：因b>1, a≥b－1，對任意x∈[0, 1]，

可以推出：ax－bx²≥b(x－x²)－x≥－x≥－1，即：ax－bx²≥－1；因為b>1，a≤2，對任意x∈[0, 1]，可推出ax－bx²≤2－bx²≤1，即ax－bx²≤1，∴－1≤f(x)≤1。

綜上，當b>1時，對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b－1≤a≤2。

（3）解：因為a>0, 0≤1時，對任意x∈[0, 1]。

f(x)=ax－bx²≥－b≥－1，即f(x)≥－1；

f(x)≤1f(1)≤1a－b≤1，即a≤b+1；

a≤b+1f(x)≤(b+1)x－bx²≤1，即f(x)≤1。

所以，當a>0, 0≤1時，對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1的充要條件是：a≤b+1.