Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且MN⊥AM，若AB=2

2

，則此正三棱錐外接球的體積是（　　）

• A、12π
• B、4

  3

  π
• C、

  4 3

  3

  π
• D、12

  3

  π

Answer 1

考點：球的體積和表面積,直線與平面垂直的判定

專題：球

分析：由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵三棱錐S-ABC正棱錐，∴SB⊥AC（對棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球．
∴側棱長為：2，
∴R=

1

2

×2

3

=

3

，
∴正三棱錐外接球的體積是

4π

3

R3=4

3

π．
故選：B．

點評：本題是中檔題，考查三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力，三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關鍵．