Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

4

)x+

1

2

-(

1

2

)x-2+5．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，f（x）＞5?(

1

4

)x+

1

2

＞(

1

2

)x-2，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解之即可；
（Ⅱ）令t=(

1

2

)x，將f（x）=(

1

2

)2x+1-(

1

2

)x-2+5轉(zhuǎn)化為y=

1

2

t²-4t+5（t＞0），利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答：解：（Ⅰ）∵(

1

4

)x+

1

2

-(

1

2

)x-2+5＞5，
∴(

1

4

)x+

1

2

＞(

1

2

)x-2．…（2分）
所以[(

1

2

)2]x+

1

2

＞(

1

2

)x-2．
即(

1

2

)2x+1＞(

1

2

)x-2．…（4分）
從而2x+1＜x-2，解之得x＜-3．…（7分）
所以不等式f（x）＞5的解集為（-∞，-3）．…（8分）
（Ⅱ）∵(

1

4

)x+

1

2

-(

1

2

)x-2+5
=(

1

2

)2x+1-(

1

2

)x-2+5
=

1

2

•(

1

2

)2x-(

1

2

)-2•(

1

2

)x+5
=

1

2

•[(

1

2

)x]2-4•(

1

2

)x+5…（10分）
設(shè)t=(

1

2

)x，則y=

1

2

t²-4t+5（t＞0），…（11分）
即y=

1

2

（t-4）²-3．…（12分）
當(dāng)t∈（0，4]，即x∈[-2，+∞）時，y是t的減函數(shù)，t是x的減函數(shù)；…（13分）
當(dāng)t∈[4，+∞），即x∈（-∞，-2]時，y是t的增函數(shù)，t是x的減函數(shù)；…（14分）
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2]．…（16分）

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的運用，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．