Question

【題目】已知函數 ， （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間，并判斷是否有極值；
（Ⅱ）若對任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）證明： （n∈N+ ， n≥2）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，（x＞0）， ， 即x∈（0，1），f'（x）＞0，當x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
∴f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，
在x=1處取得極大值，極大值為f（1）=1，無極小值．
（Ⅱ）方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx， ，
k≥f（x﹣1）max對任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max=f（1）=1，
則有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．
方法2：記g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
，
當k≤0時，g'（x）≥0；
當k＞0時，由g'（x）＞0得 ，
即當k≤0時，g（x）在（1，+∞）上為增函數；
當k＞0時， 上為增函數；在 上為減函數．
∵對任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，
即要求g（x）≤0恒成立，
∴k＞0符合，且 ，得k≥1．
（Ⅲ）證明： ，由（Ⅰ）知 ，
則 （當且僅當x=1取等號）．
令x=n2（n∈N* ， n≥2），即 ，則有

∴ ，
∴
【解析】（Ⅰ） ，（x＞0）， ，分別解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出單調區間、極值；（Ⅱ）方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分離參數可得：k≥f（x﹣1）max對任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出． 方法2：記g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1， ，對k分類討論研究其單調性即可得出；（Ⅲ） ，由（Ⅰ）知： （當且僅當x=1取等號）．令x=n2（n∈N* ， n≥2），即 ，再利用“累加求和”、“裂項求和”即可得出．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．