Question

設P是直線l：2x+y+9=0上的任一點，過點P作圓x²+y²=9的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，則直線AB恒過定點

 

．

Answer 1

考點：圓的切線方程,恒過定點的直線

專題：直線與圓

分析：根據題意設P的坐標為（m，-2m-9），由切線的性質得點A、B在以OP為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點坐標．

解答： 解：因為P是直線l：2x+y+9=0上的任一點，所以設P（m，-2m-9），
因為圓x²+y²=9的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
則點A、B在以OP為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，
則圓心C的坐標是（

m

2

，-

2m+9

2

），且半徑的平方是r²=

m2+(2m+9)2

4

，
所以圓C的方程是(x-

m

2

)2+(y+

2m+9

2

)2=

m2+(2m+9)2

4

，①
又x²+y²=9，②，
②-①得，mx-（2m+9）y-9=0，即公共弦AB所在的直線方程是：mx-（2m+9）y-9=0，
即m（x-2y）-（9y+9）=0，
由

x-2y=0 9y+9=0

得，

x=-2 y=-1

，
所以直線AB恒過定點（-2，-1），
故答案為：（-2，-1）．

點評：本題考查了直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系，圓的切線性質，以及直線過定點問題，屬于中檔題．