Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若a＜5，設g（x）=f（x）+x，求證g（x）為單調遞增函數．

Answer 1

分析：（1）現根據函數的解析式求得 f（x）的定義域為（0，+∞），再求得 f′（x）=

(x-1)(x+1-a)

x

．再分a-1=1、a-1＜1、a-1＞1三種情況，分別利用導數的符號斷函數的單調性．
（2）根據g（x）=f（x）+x的解析式，可得 g′（x）的解析式，根據1＜a＜5時g′（x）＞0，可得g（x）在（0，+∞）單調遞增．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1，它的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=x-a+

a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

．
（i）若a-1=1，即a=2，則f′（x）=

(x-1)2

x

＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，
則當x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；當x∈（0，a-1）、及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0．
故f（x）在（a-1，1）上單調遞減，在（0，a-1）、（1，+∞）單調遞增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）單調遞減，在（0，1）、（a-1，+∞）上單調遞增．
（2）g（x）=f（x）+x=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx+x，則g′（x）=x-（a-1）+

a-1

x

≥2

a-1

-（a-1）=1-(

a-1

-1)2，
由于1＜a＜5，故g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）單調增加．

點評：本題主要考查二次函數的性質，利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題．