Question

f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x²．若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t 的取值范圍．

Answer 1

分析：由當x≥0時，f（x）=x²，函數是奇函數，可得當x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足2f（x）=f（

2

x），再根據不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x），
又∵函數在定義域R上是增函數
故問題等價于當x屬于[t，t+2]時 
x+t≥

2

x恒成立?(

2

-1)x-t≤0恒成立，
令g（x）=(

2

-1)x-t，
g（x）_max=g（t+2）≤0
解得t≥

2

．
∴t 的取值范圍t≥

2

．

點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．