Question

已知a，b是不相等的正數，在a，b之間分別插入m個正數a₁，a₂， ，a_m和正數b₁，b₂， ，
b_m，使a，a₁，a₂， ，a_m，b是等差數列，a，b₁，b₂， ，b_m，b是等比數列．
（1）若m＝5，＝，求的值；
（2）若b＝λa(λ∈N^*，λ≥2)，如果存在n (n∈N^*，6≤n≤m)使得a_n－5＝b_n，求λ的最小值及此時m的值；
（3）求證：a_n＞b_n(n∈N*，n≤m)．

Answer 1

（1）;（2）最小值為4，此時為29;(3)詳見解析

解析試題分析：（1）根據題意m＝5時，共有7項，設等差數列的公差為，等比數列的公比為，則，表示出，又由，可得到，解得;（2）由條件得，即，從而得，又由于，即，從而得，又題中有，可得， 化簡消去a得：，觀察此式結構特征：，則要求為有理數．即必須為有理數，而，可將用數字代入檢驗： 若，則為無理數，不滿足條件; 同理，不滿足條件; 當時，．要使為有理數，則必須為整數，要滿足 ，可解得;(3)可假設，為數列的前項的和，我們易先證：若為遞增數列，則為遞增數列;同理可證，若為遞減數列，則為遞減數列;由于a和b的大小關系不確定，故要對其分類討論：①當時，．當時，．即，即．因為，所以，即，即;②當時，同理可求得．
試題解析：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
則．
．                                2分
因為，所以，解得．                4分
（2）因為，所以，從而得．
因為，所以，從而得．
因為，所以．
因為，所以（*）．                       6分
因為