Question

已知圓M：（x+）²+y²=的圓心為M，圓N：（x-）²+y²=的圓心為N，一動圓與圓M內切，與圓N外切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所求軌跡上是否存在一點Q，使得∠MQN為鈍角？若存在，求出點Q橫坐標的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則
兩式相加得|PM|+|PN|=4＞|MN|
由橢圓定義知，點P的軌跡是以M、N為焦點，焦距為，實軸長為4的橢圓
其方程為

（Ⅱ）假設存在，設Q（x，y）．則因為∠MQN為鈍角，所以，，
又因為Q點在橢圓上，所以
聯立兩式得：化簡得：，
解得：，所以存在

分析：（I）根據動圓與圓M內切，與圓N外切，得出則，從而有根據|PM|+|PN|=4＞|MN|，橢圓的定義可得P點的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的標準方程．
（II）先假設存在一點Q，并設Q（x，y），從而得出，然后與橢圓方程聯立并化簡得出，即可得出結果．
點評：本題考查圓與圓的位置關系，橢圓的定義和標準方程，得到|PM|+|PN|=4＞|MN|是解題的關鍵．