Question

已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（ ）
A．（8，10）
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知中△ABC三邊長分別為1、3、a，根據余弦定理的推論得到△ABC為銳角三角形時，由兩邊長1和3求出a的范圍，但3與a邊均有可能為最大邊，故要分類討論．
解答：解：∵△ABC三邊長分別為1、3、a，
又∵△ABC為銳角三角形，
當3為最大邊時3≥a，設3所對的角為α，
則根據余弦定理得：cosα=＞0，
∵a＞0，∴a²-8＞0，解得3≥a＞；
當a為最大邊時a＞3，設a所對的角為β，
則根據余弦定理得：cosβ=＞0，
∴10-a²＞0，解得：3＜a＜，
綜上，實數a的取值范圍為 ．
故選B．
點評：本題考查了三角形的形狀判斷，以及余弦定理的應用，利用了分類討論的思想．解答本題的關鍵是利用余弦定理推論出最大邊所對角的余弦值大于0，進而根據兩邊長1和2求出第三邊a的取值范圍．