Question

甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a海里，乙船向正北方向行駛．若甲船的速度是乙船速度的

3

倍，則甲船應沿

北偏東30°

方向前進才能盡快追上乙船，相遇時乙船已行駛了

a

海里．

Answer 1

分析：由題意及方位角的定義畫出簡圖，設到C點甲船上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度追為v，則BC=tv，AC=

3

tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理及余弦定理即可求解．

解答：解：如圖所示，設到C點甲船上乙船，
乙到C地用的時間為t，乙船速度追為v，
則BC=tv，AC=

3

tv，∠B=120°，
由正弦定理知

BC

sin∠CAB

=

AC

sinB

，
∴

1

sin∠CAB

=

3

sin120°

，
∴sin∠CAB=

1

2

，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，
∴BC=AB=a，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos120°
=a²+a²-2a²•（-

1

2

）=3a²，
∴AC=

3

a，BC=a，
則甲船應沿北偏東30°方向前進才能盡快追上乙船，相遇時乙船已行駛了a海里．
故答案為：北偏東30°，a．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，方位角，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．