Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+1）為奇函數．若f（2）=1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=（　　）

• A、1
• B、2014
• C、0
• D、-2014

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：根據函數奇偶性的性質進行條件轉化注意運用賦值法，即可得到f（x）的最小正周期是4，運用周期性即可得到結論．

解答： 解：∵y=f（x+1）是定義在R上的奇函數，
∴f（-x+1）=-f（x+1），
∵函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（-x）=f（x）
即有f（-x-1）=f（x+1），
則f（-x-1）=-f（-x+1），
即f（x+1）=-f（x-1），即有f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則f（x）的周期是4，
由于f（2）=1，則f（2）=-f（0）=1，則f（0）=-1，
又f（-1）=f（1），f（-1）=-f（1），則f（1）=0，
又f（3）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=-1，
則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0+1+0+（-1）=0，
由于f（2014）=f（4×503+2）=f（2）
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=0×503+[f（1）+f（2）]
=0+1=1．
故選A．

點評：本題主要考查函數值的計算，根據函數奇偶性的性質推出函數f（x）是周期為4的周期函數是解決本題的關鍵．