Question

已知函數f（x）=1-x²，函數g(x)=2acos(

π

3

x)-3a+2(a＞0)，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是

1

2

≤a≤2

．

Answer 1

分析：分別確定f（x），g（x）的范圍，利用存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，建立不等式組，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：當x∈[0，1]時，f（x）∈[0，1]，
又當x∈[0，1]時，0≤

π

3

x≤

π

3

，有

1

2

≤cos

π

3

x≤1，
因a＞0，有2-2a≤g（x）≤2-a，要條件成立，
就要

a＞0 2-2a≤1 2-a≥1

或

a＞0 2-2a≤0 2-a≥0

，
即

1

2

≤a≤1或1≤a≤2，故a∈[

1

2

，2]．
故答案為：

1

2

≤a≤2．

點評：本題考查函數最值的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定f（x），g（x）的范圍是關鍵．