Question

已知函數f(x)=

|log2x|，0＜x≤8 - 3 4 x+9，x＞8

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（　　）

• A、（1，8）
• B、（4，6）
• C、（8，12）
• D、（16，24）

Answer 1

分析：利用分段函數的定義作出函數f（x）的圖象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k則可得a，b，c即為函數y=f（x）與y=k的交點的橫坐標根據圖象可得出a，b，c的范圍同時a，b還滿足-log₂^a=log₂^b，即可得答案．

解答：解：∵函數f(x)=

|log2x|，0＜x≤8 - 3 4 x+9，x＞8

∴當0＜x≤8時f（x）=|log₂^x|則f（x）的圖象即為y=log₂^x在0＜x≤8的圖象且在x軸下方的翻折到x軸上方
  當x＞8時f（x）=-

3

4

x+9圖象為一條射線
故f（x）的圖象如上圖所示．
令f（a）=f（b）=f（c）=k則a，b，c即為函數y=f（x）與y=k的交點的橫坐標，不妨設a＜b＜c則a，b，c的位置如上圖所示．
∴由圖可知0＜a＜1，1＜b＜8，8＜c＜12
又∵f（a）=f（b）
∴-log₂^a=log₂^b
∴ab=1
∴abc=（ab）c=c∈（8，12）
故選C

點評：本題考查了利用分段函數的圖象結合數形結合的思想求方程根的積得取值范圍．求解本題的關鍵由三點：（1）會利用圖象的變換作圖．（2）會將方程的根轉化為圖象交點的橫坐標并且得出0＜a＜1，1＜b＜8，8＜c＜12．（3）能分析出f（a）=f（b）則-log₂^a=log₂^b即ab=1．