Question

已知數列{a_n}中a₁=1，an+1=

an

2an+1

（n∈N⁺）．
（1）求證：數列{

1

an

}為等差數列；
（2）設b_n=a_n•a_n+1（n∈N⁺），數列{b_n}的前n項和為S_n，求滿足Sn＞

1005

2012

的最小正整數n．

Answer 1

分析：（1）對an+1=

an

2an+1

（n∈N⁺）兩邊取導數，然后利用等差數列的定義即可證明．
（2）先由（1）求出

1

an

，進而求出a_n，b_n，然后利用列項相消法求出S_n，再解不等式Sn＞

1005

2012

即可求得最小整數n；

解答：（1）證明：由a₁=1與an+1=

an

2an+1

得a_n≠0，

1

an+1

=

2an+1

an

=2+

1

an

，
所以對?n∈N⁺，

1

an+1

-

1

an

=2為常數，
故{

1

an

}為等差數列；
（2）解：由（1）得

1

an

=

1

a1

+2(n-1)=2n-1，
bn=an•an+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
由Sn＞

1005

2012

即

n

2n+1

＞

1005

2012

，得n＞

1005

2

=502

1

2

，
所以滿足Sn＞

1005

2012

的最小正整數n=503．

點評：本題考查數列遞推式、等差數列的判定及數列求和問題，若{a_n}為等差數列，公差為d（d≠0），則{

1

anan+1

}的前n項和用列項相消法，其中

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)．