Question

22.（1）求右焦點坐標是，且經過點的橢圓的標準方程；

（2）已知橢圓的方程是. 設斜率為的直線，交橢圓于兩點，的中點為. 證明：當直線平行移動時，動點在一條過原點的定直線上；

（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心.

Answer 1

22. [解]（1）設橢圓的標準方程為，，

    ∴ ，即橢圓的方程為，

    ∵ 點（）在橢圓上，∴ ，

    解得 或（舍），

    由此得，即橢圓的標準方程為.                   

   （2）設直線的方程為，                                

    與橢圓的交點()、()，

則有，

    解得 ，

    ∵ ，∴ ，即 .

則 ，

    ∴ 中點的坐標為.               

    ∴ 線段的中點在過原點的直線 上.          

    （3）如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于、和，并分別取、的中點，連接直線；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于、和，并分別取、的中點，連接直線，那么直線和的交點即為橢圓中心.