Question

已知函數f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），記h(x)=f(x)-

1

f(x)

．
（Ⅰ）判斷h（x）的奇偶性，并證明；
（Ⅱ）對任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），g（x）≤g（x₂）．若f（x₁）=g（x₂），求實數b的值；
（Ⅲ）若2^xh（2x）+mh（x）≥0對于一切x∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）判斷知，此函數h（x）=2^x-

1

2x

 是一個奇函數，由奇函數的定義進行證明即可；
（II）據題意知，當x∈[1，2]時，f（x）_max=f（x₁），g（x）_max=g（x₂），然后根據函數的單調性求出f（x₁）與g（x₂），建立等式，解之即可；
（III）將m分離，然后根據函數的單調性求出另一側函數在閉區間上的最值，即可求出m的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）函數h(x)=2x-

1

2x

為奇函數…（2分）
現證明如下：
∵函數h（x）的定義域為R，關于原點對稱．…（3分）
由h(-x)=2-x-

1

2-x

=

1

2x

-2x=-(2x-

1

2x

)=-h(x)…（5分）
∴函數h(x)=2x-

1

2x

為奇函數…（6分）
（Ⅱ）據題意知，當x∈[1，2]時，f（x）_max=f（x₁），g（x）_max=g（x₂）…（7分）
∵f（x）=2^x在區間[1，2]上單調遞增，
∴f(x)max=f(2)=22=4，即f（x₁）=4…（8分）
又∵g（x）=-x²+2x+b=-（x-1）²+b+1
∴函數y=g（x）的對稱軸為x=1
∴函數y=g（x）在區間[1，2]上單調遞減
∴g（x）_max=g（1）=1+b，即g（x₂）=1+b…（9分）
由f（x₁）=g（x₂），
得1+b=4，∴b=3…（10分）
（Ⅲ）當x∈[1，2]時，2x(22x-

1

22x

)+m(2x-

1

2x

)≥0
即m（2^2x-1）≥-（2^4x-1），
∵2^2x-1＞0，∴m≥-（2^2x+1）…（12分）
令k（x）=-（2^2x+1），x∈[1，2]
下面求函數k（x）的最大值．
∵x∈[1，2]，∴-（2^2x+1）∈[-17，-5]，
∴k（x）_max=-5…（13分）
故m的取值范圍是[-5，+∞）…（14分）

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判定，以及恒成立問題的處理，同時考查了計算能力，屬于中檔題．