Question

已知α，β是關于x的二次方程2x²-tx-2=0的兩個根，且α＜β，若函數f(x)=

4x-t

x2+1

．
（1）求

f(α)-f(β)

α-β

的值；
（2）對任意x₁，x₂∈（α，β），求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜2|α-β|．

Answer 1

分析：（1）利用韋達定理，直接代入計算，可得結論；
（2）先證明函數在（α，β）上單調遞增，再利用（1）的結論，即可得到結論．

解答：（1）解：由題意，α+β=

t

2

，αβ=-1，則t=2α+2β
∴

f(α)-f(β)

α-β

=

4α-t α2+1 - 4β-t β2+1

α-β

=2(

1

α2+1

+

1

β2+1

)=2×

α2+β2+2

(αβ)2+(α2+β2)+1

=2×

α2+β2+2

1+(α2+β2)+1

=2×

α2+β2+2

α2+β2+2

=2；
（2）證明：求導函數可得f′(x)=

-4x2+2tx+4

(x2+1)2

∵x∈（α，β），∴2x²-tx-2＜0，
∴-4x²+2tx+4＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上單調遞增
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜f（β）-f（α）
由（1）知，f（β）-f（α）=2（β-α）
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜2|α-β|．

點評：本題考查韋達定理的運用，考查不等式的證明，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．