Question

已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，且f(x+1)=

1

f(x)

，若f（x）在[-1，0]上是減函數，那么f（x）在[2，3]上是（　　）

• A、增函數
• B、減函數
• C、先增后減得函數
• D、先減后增的函數

Answer 1

分析：由偶函數的性質可以得出[0，1]上的單調性，再由f(x+1)=

1

f(x)

可得出函數的周期是2，由此兩個性質即可研究出函數在[2，3]上的單調性．

解答：解：由題意f(x+1)=

1

f(x)

，故有f(x+1)=

1

f(x)

= f(x-1)所以函數的周期是2
又函數f（x）是定義域為R的偶函數且在[-1，0]上是減函數，故在[0，1]上增
由上性質知，f（x）在[2，3]上的單調性與在[0，1]上的單調性相同，故f（x）在[2，3]上是增函數．
故選A

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合，此類題是函數性質考查中的一個比較重要的類型，求解本題的關鍵是正確理解函數的性質并能熟練運用這些性質做出判斷，本題根據恒等式得出函數的周期性是對函數周期性考查的一種比較新穎的方法．本題易因對恒等式理解不透未能得出周期而導致解題失敗．