Question

函數(shù)f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令a=

1

2

，b=log₃2，則下列關(guān)系正確的是（　�。�

A．f（a）＞f（b）

B．f（a）＜f（b）

C．f（a）=f（b）

D．以上都不正確

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取x=

π

3

求出f′(

π

3

)，代入原函數(shù)解析式后求出f（x），求導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，比較a與b的大小后運(yùn)用單調(diào)性判斷f（a）與f（b）的大小．

解答：解：由f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，得：f′(x)=cosx+2f′(

π

3

)，
∴f′(

π

3

)=cos

π

3

+2f′(

π

3

)，則f′(

π

3

)=-

1

2

．
∴f（x）=sinx-x．
∵f^′（x）=cosx-1在x∈（0，1）上小于0恒成立．
∴f（x）=sinx-x在x∈（0，1）上為減函數(shù)．
∵a=

1

2

=log3

3

＜log3

4

=log₃2=b＜1，
∴f（a）＞f（b）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，此題是中檔題．