Question

如圖，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的底面邊長為     時，其容積最大．

Answer 1

【答案】分析：要求正六棱柱容器的容積最大，得需要得出容積表達式；由柱體的體積公式知，底面積是正六邊形，
是六個全等小正△的和，高是Rt△中60°角所對的直角邊，由高和底面積得出容積函數，用求導法可以求出最大值時的自變量取值．
解答：解：如圖，設底面六邊形的邊長為x，高為d，則
d=•（1-x）； 又底面六邊形的面積為：
S=6••X²•sin60°=x²；所以，這個正六棱柱容器的容積為：
V=Sd=x²•（1-x）=，則對V求導，則
V′=（2x-3x²），令V′=0，得x=0或x=，
當0＜x＜時，V′＞0，V是增函數；當x＞時，V′＜0，V是減函數；∴x=時，V有最大值．
故答案為：
點評：本題通過建立體積函數表達式，由求導的方法求函數最大值，是比較常用的解題思路，也是中學數學的重要內容．