Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點分別是F₁、F₂，過點F₁的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF₂的周長為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t (O為坐標原點)，當|－|＜時，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）∪.

(1)由題意知橢圓的離心率e＝＝，∴e²＝＝＝，即a²＝2b².
又△EGF₂的周長為4，即4a＝4，∴a²＝2，b²＝1.
∴橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)由題意知直線AB的斜率存在，即t≠0.
設直線AB的方程為y＝k(x－2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，由，
得(1＋2k²)x²－8k²x＋8k²－2＝0.
由Δ＝64k⁴－4(2k²＋1)(8k²－2)＞0，得k²＜.
x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
∵＋＝t，∴(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x₁＋x₂)－4k]＝.
∵點P在橢圓C上，∴＋2＝2，
∴16k²＝t²(1＋2k²)．
∵|－|＜，∴|x₁－x₂|＜，
∴(1＋k²)[(x₁＋x₂)²－4x₁x₂]＜，
∴(1＋k²) ＜，
∴(4k²－1)(14k²＋13)＞0，∴k²＞.
∴＜k²＜.∵16k²＝t²(1＋2k²)，∴t²＝＝8－，
又<1＋2k²<2，∴<t²＝8－＜4，
∴－2＜t＜－或＜t＜2，
∴實數t的取值范圍為∪.