Question

如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=2，橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7．
（I）建立適當的平面直角坐標系，求橢圓M的方程；
（II）過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P，Q兩點，設橢圓的右焦點為F₂，當時，求△PF₂Q的面積．

Answer 1

【答案】分析：先以過O平行于AB的直線為x軸，以過O平行于AD的直線為y軸建立直角坐標系．
（1）設橢圓方程為，根據題目中準線方程、短軸長和離心率確定a，b，c的值，代入即可確定方程．
（2）先求出|PF₁|、|PF₂|的距離，根據對稱性可知|PF₁|=|QF₂|，再由三角形面積公式可得到答案．
解答：解；如圖，建立直角坐標系，
依題意：設橢圓方程為（a＞b＞0），
（I）依題意：，
∵橢圓M的離心率大于0.7，所以a²=4，b²=1．
∴橢圓方程為．

（II）因為直線l過原點與橢圓交于點P，Q，
設橢圓M的左焦點為F₁．
由對稱性可知，四邊形PF₁QF₂是平行四邊形．
∴△PF₂Q的面積等于△PF₁F₂的面積．
∵，
∴．
設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則
∴．
∴．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程．圓錐曲線是每年必考題，對于圓錐曲線的基礎知識一定要熟練掌握．