Question

已知函數f（x）=3-cos（ωx+ϕ），（其中ω＞0，0＜ϕ＜

π

2

），若y=f（x）的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為2，且過點M（1，

7

2

）
（Ⅰ）求f（x）表達式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象按向量

d

=（m，n）平移，使平移后的圖象關于原點成中心對稱，求長度最小的向量

d

．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,余弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由周期求得ω，根據特殊點的坐標求得φ，可得f（x）表達式．
（Ⅱ）喲條件根據函數y=Acos（ωx+φ）+b的圖象變換規律，余弦函數的圖象的對稱性，可得滿足條件的向量

d

的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

T

2

=

π

ω

=2，∴ω=

π

2

．
再根據函數的圖象過點M（1，

7

2

），可得3-cos（

π

2

+ϕ）=

7

2

，故有cos（

π

2

+ϕ）=-sinϕ=-

1

2

，即sinϕ=

1

2

．
結合0＜ϕ＜

π

2

，可得ϕ=

π

6

，∴f（x）=3-cos（2x+

π

6

）．
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象按向量

d

=（m，n）平移，可得函數y=3-cos[2（x+m）+

π

6

]+n，即 y=3+n-cos（2x+2m+

π

6

）的圖象．
再根據 y=3+n-cos（2x+2m+

π

6

）的圖象關于原點成中心對稱，∴3+n=0，且 2m+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z．
求得n=-3 且絕對值最小的m的值為m=

π

6

，即滿足條件的向量

d

=（

π

6

，-3）．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Acos（ωx+φ）+b的圖象變換規律，余弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．