Question

已知曲線y=x²+2．
（1）曲線上有一點P，且過點P的切線與x軸平行，求點的P的坐標；
（2）求與曲線相切于點A，且與直線x+4y-8=0垂直的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設點P的坐標為（x₀，y₀），由過點P的切線與x軸平行可得 2x₀=0，x₀=0．代入曲線的方程可得y₀=2，求得P（0，2）．
（2）設切點A（x₁，y₁），所求直線的斜率為k，由題意可得k=4，求得 x₁=2，代入曲線求得y₁=6，可得A的坐標，再利用點斜式求所求的直線方程．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x₀，y₀），則切點的定義和性質可得切線的斜率為曲線在點P處的導數 2x₀，
再由過點P的切線與x軸平行可得 2x₀=0，x₀=0．代入曲線的方程可得y₀=2，故P（0，2）．
（2）設切點A（x₁，y₁），所求直線的斜率為k，由題意可得k=4．
由k=2x₁=4 解得 x₁=2，代入曲線求得y₁=6，∴A（2，6），故所求的直線方程為 y-6=4（x-2），
即4x-y-2=0．

點評：本題主要考查兩直線垂直的性質，導數的幾何意義，用點斜式求直線的方程，屬于基礎題．