Question

（本題滿分14分） 已知矩形ABCD，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC

沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC -B是直二面角。

(Ⅰ) 證明：BE⊥CD’；

(Ⅱ) 求二面角D'-BC -E的余弦值，

 

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

    ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，即

    又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC

     ∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               ……………4分

    (Ⅱ)法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC

    垂足為F，連接D’M，D'F,則D'M⊥EC.

    ∵平面D'EC⊥平面BEC  ∴D'M⊥平面EBC

∴MF是D'F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得：D'F⊥BC

∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角．…………8分

在Rt△D'MF中，,

,

∴二面角D’-BC—E的余弦值為  …………………………………………………14分，

法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系．

則             ……………8分

設平面BEC的法向量為；平面D'BC的法向量為

,

     取x₂=l………12分

得

∴二面角D'-BC-E的余弦值為………………14分

【解析】略