Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F為線段A′C的中點．
（Ⅰ）求證：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證BF∥平面A'DE，只需在平面A'DE中找到一條線平行于BF即可；而取A′D的中點G，并連接GF、GE，易證四邊形BEGF為平行四邊形，則BF∥EG，即問題得證．
（Ⅱ）欲求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值，需先找到直線FM與平面A′DE所成的角；而連接A′M，CE，由平面A′DE⊥平面BCD易證CE⊥A′M，且由勾股定理的逆定理可證CE⊥DE；再取A′E的中點N，連線NM、NF，則NF⊥平面A′DE，即∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角；最后在Rt△FMN中，易得cos∠FMN的值．

解答：（Ⅰ）證明：取A′D的中點G，
連接GF，GE，由條件易知
FG∥CD，FG=

1

2

CD．
BE∥CD，BE=

1

2

CD．
所以FG∥BE，FG=BE．
故所以BF∥EG．
又EG?平面A'DE，BF?平面A'DE
所以BF∥平面A'DE．
（Ⅱ）解：在平行四邊形ABCD中，設BC=a，
則AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，
連接A′M，CE
因為∠ABC=120°
在△BCE中，可得CE=

3

a，
在△ADE中，可得DE=a，
在△CDE中，因為CD²=CE²+DE²，所以CE⊥DE，
在正三角形A′DE中，M為DE中點，所以A′M⊥DE．
由平面A′DE⊥平面BCD，
可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE．
取A′E的中點N，連線NM、NF，
所以NF⊥DE，NF⊥A′M．
因為DE交A′M于M，
所以NF⊥平面A′DE，
則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角．
在Rt△FMN中，NF=

3

2

a，MN=

1

2

a，FM=a，
則cos∠FMN=

1

2

．
所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為

1

2

．

點評：本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系及線面角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力．