Question

17．△ABC中，若動點D滿足${\overrightarrow{CA}$²-${\overrightarrow{CB}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，則點D的軌跡一定通過△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 內心
• C． 垂心
• D． 重心

Answer 1

分析 可取AB的中點為E，從而由${\overrightarrow{CA}}^{2}-{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=0$即可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}=0$，從而得出ED⊥AB，這樣便可得出點D的軌跡為AB的垂直平分線，而△ABC的外心在AB的垂直平分線上，從而得出點D的軌跡過△ABC的外心．

解答 解：如圖，取AB中點E，則：

${\overrightarrow{CA}}^{2}-{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$
=$（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$
=$2\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$
=$2\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CE}）$
=$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}$
=0；
∴AB⊥ED；
即點D在AB的垂直平分線上；
∴點D的軌跡一定通過△ABC的外心．
故選A．

點評 考查向量數量積的運算，向量加法的平行四邊形法則，以及向量減法的幾何意義，三角形外心的定義，向量垂直的充要條件．