Question

把正方形ABCD沿其對角線AC折成直二面角D-AC-B后，連接BD，得到如圖所示的幾何體，已知點O、E、F分別為線段AC、AD、BC的中點．
（1）求證：AB∥平面EOF；
（2）求二面角E-OF-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點O、F分別為線段AC、BC的中點．利用三角形的中位線定理，我們可得OF∥AB，再由線面平行的判定定理，可以得到AB∥平面EOF；
（2）以O為坐標原點，OB，OC，OD，分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，分別求出平面EOF的法向量和平面BOF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角E-OF-B的大小．
解答：解：（1）證明：∵點F為線段BC的中點，O為AC的中點，
∴OF∥AB
又∵OF?平面EOF，AB?平面EOF
∴AB∥平面EOF
（2）∵二面角D-AC-B為直二面角，連接OB，OD，
∵AD=DC，
∴OD⊥AC
則OD⊥平面ABC
又∵AB=BC
∴OB⊥OC
以O為坐標原點，OB，OC，OD，分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，
序曲OA=OB=OC=OD=2a
∵E、F分別為線段AD、BC的中點
∴A（0，-2a，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），D（0，0，2a），E（0，-a，a），F（a，a，0）
∴=（0，-a，a），=（a，a，0）
設平面EOF的法向量為=（x，y，z）
則，即
設x=-1，則=（-1，1，1）
平面OBF的法向量為=（0，0，1）
∵cos＜，＞==
∴二面角E-OF-B的大小為arccos
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是證得OF∥AB，（2）的關鍵是求出平面EOF的法向量和平面BOF的法向量．